Родился 24 августа 1961 года в Луганске.

В 1977 году старший тренер ворошиловградской "Зари" Йожеф Сабо, наблюдая за матчами юношеских команд города, приметил шустрого паренька, выделявшегося на поле не по годам разумной игрой. Школьник Саша Заваров немедленно зачисляется в дублирующий состав, набирается ума-разума и через два года (27 апреля 1979 года) дебютирует в основном составе "Зари" в выездном матче с тбилисским "Динамо". В третьей игре против ростовского СКА при счете 0:2 новичок делает дубль, принося очко своей команде. Быстрого, азартного и остроатакующего форварда уже тогда характеризовали нестандартность действий, склонность к импровизации. Он отличался высокой стартовой скоростью, тонким пониманием игры, оригинальными игровыми решениями. Заварова без промедления включили в юношескую сборную СССР, которая в сентябре 19/9 года стала вторым призером чемпионата мира среди юниоров, проиграв в решающем матче сверстникам из Аргентины во главе с юным Марадоной и под руководством Луиса Сезара Менотти.

Следующий, "олимпийский" сезон рядовой Заваров начал в ростовском СКА - пришло время отдавать почетный долг родине (в смысле, срочную служить). Здесь Александр потерялся среди опытных футболистов и по-настоящему выстрелил лишь через год, когда в финале Кубка СССР ростовские армейцы сенсационно обыграли московский "Спартак". Именно Зава-ров организовал единственный победный гол. Каскадом финтов он дезориентировал защитников и, как на блюдечке, выложил мяч под удар Сергею Андрееву. К "Спартаку" Заваров воспылал особой любовью, в том же году отметившись хет-триком в ворота Дасаева. К сожалению, несмотря на кубковый успех, СКА покинул группу сильнейших, а Заваров, демобилизовавшись, вернулся в Луганск. Но это уже была не та "Заря". Клуб скатился в первую лигу, дисциплина хромала, местные руководители махнули на команду рукой. На фоне других поблекла и игра Александра. Добавим сюда, скажем так, серьезные проблемы с режимом, которого Заваров особо не придерживался.

Возможно, так и прозябал бы Заваров на задворках большого футбола, если б не интуиция Лобановского. Экс-ворошиловградец быстро влился в основной состав киевского клуба. Валерий Васильевич заставил Александра поверить в свои силы, кардинально изменил зону его действий на поле, и спустя некоторое время он стал одним из лидеров "Динамо". Перейдя в полузащиту, Заваров стал класснейшим организатором игры. Благодаря своей незаурядной технике и великолепному дриблингу он нередко брал игру на себя. Умелый выбор позиции и отличная прыгучесть, несмотря на небольшой рост, предопределяли его преимущество в воздухе. При этом он умело сочетал индивидуальную игру с коллективными действиями, всегда был в поиске наиболее выгодной для начала новой атакующей комбинации позиции. Его можно было бы назвать ярко выраженным индивидуалистом и даже ругать его за это, если бы все его действия не укладывались, как это ни парадоксально, в строгие рамки коллективной игры. Сопернику было очень нелегко приспособиться к игре Заварова именно в силу его нестандартности. Действительно, невозможно было предугадать, чего ожидать от Заварова в следующее мгновение - то ли в обводку он пойдет, то ли отдаст мяч и снова откроется на свободном месте.

Вклад Александра в организацию командной игры был чрезвычайно велик. Он вносил в нее свое неповторимое видение игры, был горазд на выдумки. Иногда бывал несдержан в силу перехлеста эмоций. Но в жизни оставался скромным и спокойным парнем.

Успехи киевского "Динамо" того времени неразрывно связаны с удачной игрой Заварова.

7 августа 1985 года в матче СССР - Румыния Александр дебютировал в составе сборной. Всего сыграл 41 матч, забил 6 голов. Участвовал в двух мировых и одном европейском форумах. Дважды входил в десятку лучших футболистов Европы - в 1986 году занял в опросе "Франс футбола" 6-е место, в 1988 - 8-е. В этот период Заваров несомненно являлся одним из сильнейших футболистов СССР. Свой последний матч и последний гол за сборную он провел на ЧМ-90 в матче со сборной Камеруна.

Александр Заваров стал первым футболистом СССР, заключившим контракт с престижным зарубежным клубом. В 1989 году "Ювентус" выложил за него пять миллионов долларов. Немалая по тем временам сумма разделилась на три части - по два млн. зелени пошло в Олимпийский комитет и в клуб "Динамо", а один млн. - в бюджет страны (т.е. в закрома родины). В "Старую Синьору" Заваров был призван на позицию диспетчера, где по замыслу тренера Дино Дзоффа должен был заменить Мишеля Платини. Стараясь как можно быстрее оправдать доверие, Александр начал так резво, что получил травму. Затем потянулись суровые будни кальчо - все было чужим и незнакомым для футболиста, привыкшего к советским реалиям. К сожалению, дебют Заварова в "Юве" совпал с неудачной игрой клуба, переживавшего смену поколений. После двух сезонов, в которых "Юве" финишировал на четвертом месте, терпение семьи Аньелли лопнуло. Несмотря на победу в Кубке Италии и Кубке УЕФА, выступление команды посчитали неудачным. Дзоффа отправили в отставку. Новый тренер Джузеппе Манфреди, в распоряжение которого попали Роберто Баджо и Томас Хёсслер, заявил категорически: "Мне не нужны русские футболисты", имея в виду украинца Заварова и белоруса Алейникова. Контракт с Заваровым был расторгнут, и он продолжил игровую карьеру во французском "Нанси".

8 скромном французском клубе Александр был подлинной звездой - как когда-то Блохин в "Форвертсе" из Штайра. Получал ли он от этого удовлетворение? Конечно, ведь жизнь состоит не из од-1 них чемпионских титулов и еврокубков! Во Франции Заваров уже десять лет, там его семья вполне адаптировалась. Говорят, старший сын делает успехи как игрок молодежной команды. Сам Александр Анатольевич, по его словам, скучает по Украине и готов вернуться. Если, конечно, предложат интересную работу.

Знаете ли вы, что...
Как вспоминал Никита Павлович Симонян, после одной из ветеранских встреч Заваров поднял тост "За Батю! Если б не он, кто знает, где я был сейчас...". Речь, конечно же, шла о Лобановском.

Во Франции Заварова ласково звали "цыпленком" - это галльское слово созвучно русскому пятибуквенному, которое так любят употреблять в сложные моменты не только футболисты...